Homology and K-theory of the Bianchi groups

We reveal a correspondence between the homological torsion of the Bianchi groups and new geometric invariants, which are effectively computable thanks to their action on hyperbolic space. We use it to explicitly compute their integral group homology and equivariant K-homology. By the Baum/Connes conjecture, which holds for the Bianchi groups, we obtain the K-theory of their reduced C-algebras in terms of isomorphic images of the computed K-homology. We further find an application to Chen/Ruan orbifold cohomology. Homologie et K-théorie des groupes de Bianchi Résumé. Nous mettons en évidence une correspondance entre la torsion homologique des groupes de Bianchi et de nouveaux invariants géométriques, calculables grâce à leur action sur l’espace hyperbolique. Nous l’utilisons pour calculer explicitement leur homologie de groupe à coefficients entiers et leur K-homologie équivariante. En conséquence de la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée pour ces groupes, nous obtenons la K-théorie de leurs C*-algèbres réduites en termes d’images isomorphes de la K-homologie calculée. Nous trouvons d’ailleurs une application à la cohomologie d’orbi-espace de Chen/Ruan. 1. Version française abrégée Nous étudions la géométrie d’une certaine classe de groupes arithmétiques (les groupes de Bianchi), à travers une action propre sur un espace contractile. Nous accédons à leur homologie de groupe et leur K-homologie équivariante. En plus de détail, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire Q( √−m), où m est un entier positif ne contenant pas de carré. Soit O−m son anneau d’entiers. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL2(O−m). Les groupes de Bianchi peuvent être considérés cruciaux pour l’étude d’une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, qui ont déjà été étudiés par Henri Poincaré [9]. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un groupe de Bianchi [8]. Un éventail d’informations sur les groupes de Bianchi E-mail address: [email protected] URL: http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~rahm/ c �2011 Académie des Sciences